\documentclass[a4paper, 12pt, one-side]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
\usepackage{framed}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[strict]{changepage}

\usepackage{geometry} % Меняем поля страницы
\geometry{left=2cm}% левое поле
\geometry{right=1.5cm}% правое поле
\geometry{top=1cm}% верхнее поле
\geometry{bottom=2cm}% нижнее поле

\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newcommand{\leftright}{"$\Rightarrow$":\hspace{0.25 cm}}
\newcommand{\rightleft}{\vspace{0.5 cm} "$\Leftarrow$":~}

\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textsection \arabic{section}.\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thefootnote}{\arabic{footnote}}

\newenvironment{thm}
{ \begin{framed}\begin{theorem} }
{ \end{theorem}\end{framed} }

\renewenvironment{proof}
{ \noindent $\square$ \begin{adjustwidth}{1.5cm}{1.5cm} }
{ \end{adjustwidth} \hspace{\stretch{1}} $\blacksquare$ \\ }

\begin{document}

  \tableofcontents
  \newpage

  \setcounter{section}{0}
  \parindent = 0cm
  %\pagenumbering{roman}
  
  %\section{Комплексные числа}

  %\subsection{Операции над комплексными числами}

  \newpage

  %\pagenumbering{arabic}
 
  \section{Аналогии с вещественным анализом}

  \subsection{Предел и непрерывность}

  To be completed \ldots

  \subsection{Дифференцируемость}

  Для вещественных функций можно записать равносильные определения производной и дифференцируемости:

  $$
  \text{производная (если $\exists \lim$): } f'(a) = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
  $$ $$
  \text{дифференцируемость: } f(x) = f(a) + f'(a) \cdot (x-a) + o(x-a)
  $$

  \vspace{0.5 cm}

  \noindent В комплексном анализе такого определения производной на множестве $\mathbb{R}^2$ нет, поскольку нет деления на вектор, но зато оказывается, что аналогия имеется для комплексных функций ($\mathbb{C}$ - алгебра с делением):

  \vspace{0.2 cm}

  $$
  \text{\parbox{2.5 cm}{комплексная производная} (если $\exists \lim$): } f'(a) = \lim\limits_{z \rightarrow a} \frac{f(z) - f(a)}{z - a}
  $$

  \vspace{0.2 cm}

  \noindent Равносильность определению дифференцируемости сохраняется:

  \vspace{0.2 cm}

  $$
  \text{дифференцируемость: } f(z) = f(a) + f'(a) \cdot (z-a) + o(|z-a|)
  $$

  \vspace{0.2 cm}

  \noindent Да и вообще, сохраняются основные свойства производной:

  \vspace{0.5 cm}
  
  \begin{tabular}{cll}
    $1^{\circ}.$ & Вынос константы & $(kf)' = k f'$ \\
    $2^{\circ}.$ & Производная суммы & $(f+g)' = f' + g'$ \\
    $3^{\circ}.$ & Производная произведения & $(fg)' = f'g + g'f$ \\
    $4^{\circ}.$ & Производная $\cfrac{1}{f(z)}$ & $\left( \cfrac{1}{f(z)} \right)' = -\cfrac{f'(z)}{f^2(z)}$ \\
    $5^{\circ}.$ & Производная частного & $\left( \cfrac{f}{g} \right)' = \cfrac{f'g-g'f}{f^2}$ \\
    $6^{\circ}.$ & Производная композиции & $\left( g(f(z) \right)' = g'\left(f(z)\right) \cdot f'(z)$ \\
  \end{tabular}

  \vspace{0.5 cm}

  \noindent Помимо этого, можно вычислить, что $(z)' = 1$, применяя определение дифференцируемости: $z = a + 1 \cdot (z-a) + 0$. Далее по индукции можно получить $(z^n)' = nz^{n-1}$, т.е. производная полинома в комплексном анализе такая же, как и в вещественной.

  \vspace{0.5 cm}

  \noindent  Возвращаясь к разговору про отображения, можно заметить, что дифференцируемость для них записать можно:

  $$
  w: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right], \text{ дифференцируемость в} \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \Leftrightarrow \exists\text{ линейного оператора } A:
  $$ 
  \vspace{0.2 cm}
  $$
  \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} u_0 \\ v_0 \end{array} \right] + A \cdot \left(\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \right) + o\left( \left| \left| \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \right| \right|\right)
  $$

  \vspace{0.5 cm}

  \noindent В связи с этим возникает вопрос о связи дифференцируемости комплексной функции и соответствующего ей отображения, на который отвечает следующая теорема:
 
  \begin{thm} 
    Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $z_0 = x_0 + i y_0$, тогда соответствующее ей отображение $w: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ дифференцируемо в $\left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right]$.
    \flushright \bfseries \itshape (дифференцируемость комплексной функции и отображения)
  \end{thm}
  \begin{proof}
    Запишем определение дифференцируемости для функции $f$:
    $$
    f(z) = f(z_0) + f'(z) \cdot (z - z_0) + o(|z-z_0|)
    $$
    
    Числа $z, f(z)$, а также $z_0$ и $f(z_0)$ - комплексные, запишем их в декартовой форме ($u, u_0, v, v_0$ - функции $x$ и $y$):
    $$
    z = x+ i y; \qquad f(z) = u + i v; \qquad z_0 = x_0 + i y_0 \qquad f(z_0) = u_0 + i v_0
    $$

    Комплексная производная $f'(z) = A + i B$, подставим все величины в определение:
    $$
    u + i v = u_0 + i v_0 + (A + i B) \cdot \left(x-x_0 + i (y-y_0)\right) + o(|z- z_0|)
    $$

    Рассмотрим равенства вещественных и мнимых частей в отдельности:
 
    $$
    \left\{ \begin{array}{l}
    \text{Re: } u = u_0 + A(x-x_0) - B(y-y_0) + o(|z - z_0|) \\
    \text{Im: } v = v_0 + B(x-x_0) + A(y-y_0) + o(|z - z_0|) \\
    \end{array} \right.
    $$

    Можно заметить\footnote{Стоит отдельно отметить, что модуль комплексного числа и евклидова норма вектора в $\mathbb{R}^2$ совпадают:

    $$ 
    o(|z-z_0|) = o(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = o\left( \left| \left| \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right] \right| \right|\right)
    $$}, что полученная система уравнений эквивалентна определению дифференцируемости отображения, при этом матрица оператора $A$ (производная) выглядит следующим образом:

    $$
    \text{\fbox{$w' = \left[ \begin{array}{cc} A & -B \\ B & A \end{array} \right]$}}
    $$

    Таким образом, дифференцируемость отображения доказана.
  \end{proof}

   В процессе доказательства получилось, что отнюдь не любому дифференцируемому отображению соответствует некая дифференцируемая комплескная функция, т.к.:

  $$
  \text{общий вид матрицы} \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right] \ne \text{необходимому} \left[ \begin{array}{cc} A & -B \\ B & A \end{array} \right]
  $$ 

  Получающееся условие на матрицу дифференциала удобнее записать на языке частных производных: поскольку отображение дифференцируемо, то в некоторой окрестности исследуемой точки у него существуют все частные производные:

  $$
  A = \left[ \begin{array}{cc}  \vspace{0.2 cm}
    \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
    \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\
  \end{array} \right]
  $$

  Дополнительные условия на производные очевидны и называются \textit{условиями Коши-Римана}:
 
  $$
  \text{\fbox{$\frac{\partial u}{\partial x} = A = \frac{\partial v}{\partial y},~\frac{\partial u}{\partial y} = -B = -\frac{\partial v}{\partial x}$}}
  $$

  Помимо этого, для частных производных требуется непрерывность\footnote{
  Подробнее в идее с частными проивзодными можно разобраться с помощью конспекта по матанализу за IV семестр.
  }, и получается следующая обратная теорема:

  \begin{thm}
    Пусть отображение $w: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right]$ дифференцируемо в точке $\left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right]$,

 \vspace{0.3 cm} 

 при этом частные производные $\frac{\partial u}{\partial x},~\frac{\partial u}{\partial y},~\frac{\partial v}{\partial x}\text{ и }\frac{\partial v}{\partial y}$ непрерывны и удовлетворяют условиям Коши-Римана, тогда комплексная функция $f(x+iy) = u+iv$ дифференцируема в точке $z_0 = x_0 + i y_0$.

  \flushright \bfseries \itshape (дифференцируемость отображения $\Rightarrow$ комплексной функции)
  \end{thm} 
  \begin{proof}
    Обратить ход доказательства теоремы 1, $f'(z_0) = A+i B$.
  \end{proof}

  \begin{itemize}
    \item Формулировка теоремы для функции и ее частных производных.
    \item Пример недифференцируемой функции.
  \end{itemize}

  \subsection{Различные формы условий Коши-Римана}

  \begin{itemize}
    \item полярно-декартова
    \item декартово-полярная
    \item полярно-полярная
  \end{itemize}

  \subsection{Связь вещественной и мнимой частей дифференцируемой функции}

  Общая идея: благодаря наличию условий Коши-Римана, зная одну из частей (вещественную или мнимую) дифференцируемой функции, можно восстановить другую (в качестве начального условия необходимо значение в точке для единственности).
 
  \subsection{Исследование дифференцируемости некоторых функций}

  \begin{itemize}
    \item модуль - нет
    \item сопряжение - нет
    \item экспонента - очень даже
    \item $\sin / \cos$ - тоже как сумма экспонент
  \end{itemize}

  \subsection{Конформное отображение}

  Общая идея: дифференцирование локально действует как сумма поворота на $\text{arg} f'(z_0)$ и растяжения в $|f'(z_0)|$ раз, получается, что отображение $z \rightarrow f(z)$ локально сохраняет форму, т.е. конформно по определению.
\end{document}

